图像法推导匀变速直线运动位移时间关系的教学创新设计

写在前面：在教材中对匀变速直线运动位移时间关系推导中采用了极限思想方法，对于接触极限法不久的高一新生还存在“极限”有点“近似”含义，因此学生会极限法推导出来的结论的准确性有点疑虑，影响了学生对新知识的接受。笔者在教学中引入学生能够中点速度当作平均速度推导得出了学生认可的相同结论，并以说明教材上用极限法推导也是完全正确的。

一、位移近似计算铺垫

在匀速直线运动中，物体的位移x=vt，在其v-t图像中图像与t轴围成的面积大S＝vt，如图1所示。因此，在匀变速直线运动中v-t图像与t轴围成的面积与位移对应相等。

二、匀变速直线运动的位移科学替代

如图2所示，在匀变速直线运动的v-t图像中将匀变速直线运动分成很多个相同时间间隔小段，每一小段的速度都有较小的变化，为了应用“在匀速直线运动中v-t图像与t轴围成的面积与位移对应相等”这一规律，我们可以用两种算法来近似计算匀变速直线运动的位移。

法一：将每一小段当作匀速运动，并且以每一小段的初速为匀速运动的速度。

法二：将每一小段当作匀速运动，并且以每一小段的末速为匀速运动的速度。

可以想像法一以每一段最小的速度代替全程的速度来计算位移显然计算出的位移应偏小，法二以每一段最大的速度代替全程的速度来计算位移显然计算出的位移应偏大。那么以哪一处的速度来代替全程速度用匀速运动位移替代匀变速运动的位移才能相等呢？显然，应是以中间时刻的速度来替，如图2 中间部分红色区域所示。从图中可以看出：在该段中表示对应位移的面积有大部在图像下方，还有一小部分是在图像上方与图像下方没有填充的一小块面积相等。

因此，在匀变速直线运动中v-t图像与t轴围成的面积也能与位移对应相等。同法将法一、法二的算法用面积对应位移来表示，从图2中也可以看出法一围成的面积偏小，法二围成的面积偏大，这与法一位移偏小法二位移偏大是相对对应的。

由此看来，不仅是匀速直线运动、匀变速度直线运动，还是一般变速运动（一般变速运动可分段当作匀变速运动）的v-t图像与t轴围成的面积与位移对应相等。

由面积公式推导出匀变速直线运动位移公式x＝（v0+v）t/2，将v=v0+at代入，可得x=v0t+att/2。

另由x=v(平均)t可附带得出在匀变速直线运动中平均速度公式v(平均) （v0+v）/2。

三、极限推导的科学性论证

在前面用中间速度代替全程的面积法推导出了匀变速直线运动的位移公式，是不是用前初速度或末速度代替全程速度的思想就是错误的呢？如图3所示，现将已经小段再细化成两小段，采用法一思想处理问题，从图中可以看原来偏小部分的面积得到进一步填充（见图中红色区域）。可以想像：若将每一小段都进行无限细分，不论是采用初速度还中末速度代替全程速度所采用的面积思想都能得到正确的结论：位移对应图像与t轴围成的面积。这也就是说用初速度或末速度代替全程速度是有道理的，极限法分析也是正确的。

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